Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion
Journal Title: Математичне моделювання - Year 2018, Vol 1, Issue 2
Abstract
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ГІРОСКОПУ НА ОСНОВІ КВАТЕРНІОНА Красніков К.С. Реферат Автор статті розглядає проблему виродження кутів сферичної системи координат, що спричиняє нереалістичну поведінку дроту у металургійному процесі ковшового доведення сталі на прикладі руху гіроскопу. Орієнтація дроту під час перебігу даного процесу на протязі значного часу має вертикальний характер, при чому означена проблема виродження координати виникає саме при вертикальному розташуванні частини дроту (у попередніх роботах дріт представлявся пружньо з’єднаною системою стрижней). Тому з’являється необхідність пошуку інших можливостей моделювання динаміки, наприклад, за допомогою кватерніонів. Метою статті є математична модель на основі кватерніону з порівнянням її у проблемній ситуації, в якій модель на основі кутів сферичної системи координат дає нереалістичну траєкторію руху. Перевірити математичну модель запропоновано на гіроскопі — простому механізмі зі складною ди-намікою і ортогональністю елементів (яка також може бути використана для моделювання кручення дроту). Гіроскоп представлено системою з трьох стрижнів, один з яких є віссю гіроскопа, а два інших зеркально-орієнтованих стрижня ортогонально приєднані до першого. Перший стрижень має можливість обертатися як навколо своєї вісі так і навколо вільного кінця, який не рухається у просторі. Радіус-вектори трьох стрижней визначено так, що умова ортогональності виконується автоматично у рівняннях руху. У першій математичній моделі узагальненими координатами обрано компоненти кватерніону і кут обертання навколо z-вісі. У другій моделі узагальненими координатами є зенітний, азимутальний і кут власного обертання. Динаміка гіроскопу визначається рівняннями Ейлера-Лагранжа, для яких подано вирази кінетичної та потенційної енергії. В результаті одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно прискорень, яка розв’язується методом Холецького. Початковими умовами є розташування гіроскопа у площині X-Y з віссю оберненою на кут 45° навколо z і швидкістю власного обертання у 1 рад/с. Помилку особливо видно на рисунках у момент зміни знаку x-компоненти вектора вісі. Також змодельовано відоме явище прецесії гіроскопа, причому як показано на рисунках швидкість прецесії зменшується у відповідь на збільшення власного обертання гіроскопу. Отже визначення динаміки твердого тіла на прикладі гіроскопу за допомогою кватерніону має більш чисельно стабільний результат, хоча і потребує 4 рівняння на кватерніон, проте їх складові є легшими у порівнянні з тригонометричними операндами другої моделі. У майбутніх дослідження умова одиничної норми може бути також точно врахована у рівняннях руху використовуючи три параметри, але за рахунок ускладнення у вигляді операції ділення. Література 1. Haug Edward J. Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Volume I: Basic methods. – Massachusetts: Allyn and Bacon, Inc, 1989. – 500 p. ISBN:0-205-11669-8. 2. Baumgarte, J. Stabilization of constraints and integrals of motion / Computer methods in applied mechanics and engineering, Vol. 1, 1972. – pp. 1–16. 3. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. – М: «Наука», 1973. – 320 с. 4. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: уч. пособие. / Д.Ю. Погорелов. – Брянск: БСТУ, 1997. – 153 с. ISBN 5-230-02435-6 5. Модель прецесії гіроскопа [Електронний ресурс] // Youtube-канал “Kireal Lab”. Режим доступу: https://youtu.be/0K3n3TelCjg (дата звернення 10.09.2018 р.)
Authors and Affiliations
К. С. Кррасніков
Keywords
Related Articles
- EP ID EP444584
- DOI 10.31319/2519-8106.2(39)2018.154209
- Views 88
- Downloads 0
Моделирование выпуска расплава из конвертера с применением метода диаграмм связей
MODELING MELT OUTPUT FROM THE CONVERTER USING BOND DIAGRAM METHOD Pohvality A.A., Sigarev E.N., Kulik A.D., Poletaev V.P. Abstract A technique for obtaining analytical models using link diagrams is proposed. The code ch...
Моделювання впливу похибок форми опорних поверхонь гідростатичного підшипника на статистичні характеристики траєкторій шпинделя
In this paper were researched laws formation of the statistical characteristics of the trajectories movement of the spindle mounted on hydrostatic bearings depending on the form errors, temperature deformations support s...
Математическая модель плавления утяжеленного комбинированного алюмосодержащего раскислителя цилиндрической формы в защитной оболочке
This article presents the one- and two-dimensional mathematical model of melting aluminum-weighted combined deoxidizer cylindrical shape in the containment in the melt and asymmetric boundary conditions at the interface...
Дослідження розподілу випадкових хорд у сфері
STUDY OF THE DISTRIBUTION OF RANDOM CHORDS IN THE SPHERE Stroieva V.O, Avramenko V.I. Abstract In this paper we consider the problem of determining the length of a random chord, which is often associated with problems s...
ОБҐРУНТУВАННЯ ВИБОРУ ЧИСЕЛЬНОГО МЕТОДУ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАННЯ ПЛАВЛЕННЯ, КОМБІНОВАНОГО АЛЮМОВМІСЬКОГО РОЗКИСЛЮВАЧА ЦИЛІНДРИЧНОЇ ФОРМИ, З ОБВАЖНЮВАЧЕМ, В ЗАХИСНІЙ ОБОЛОНЦІ
THE JUSTIFICATION FOR SELECTION OF NUMERICAL METHOD FOR MELTING PROBLEM SOLUTION OF WEIGHTED COMBINED ALUMINUM-CONTAINING DEOXIDIZER OF CYLINDRICAL FORM IN PROTECTIVE SHELL Babenko M.V., Voloshin R.V., Krivosheev G.A. A...